п•переменаЕГЭ ПРОФИЛЬНаш бот
Все задания
№ 021 балл на экзамене18 минут

Векторы: от координат до скалярного произведения

Материал следует статье Егора: смысл и координаты вектора → длина → сложение и вычитание → скалярное произведение по координатам и через угол. Сравнивай вычисления с геометрическим смыслом.

О материале и его границах

Основные формулы и порядок изучения сохранены. Обрати внимание на направление векторов при геометрическом вычитании.

Содержание · 6 разделов
  1. Смысл вектора и координаты
  2. Длина вектора
  3. Сложение и вычитание по координатам
  4. Сложение и вычитание на рисунке
  5. Скалярное произведение по координатам
  6. Скалярное произведение через угол
1

Смысл вектора и координаты

Вектор — направленный отрезок. В AB точка A — начало, B — конец. Для A(x_A; y_A) и B(x_B; y_B) из координат конца вычитают координаты начала. Вектор (3; 4) означает сдвиг по x на +3 и по y на +4.

Из координат конца вычитаем координаты начала: AB = (3; 4).
AB→=(xB−xA; yB−yA)\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A)
2

Длина вектора

Длина, или модуль, вектора AB — расстояние от A до B. Если a = (xₐ; yₐ), его длина находится по теореме Пифагора. В примере источника A(2; 3), B(5; 7), поэтому AB = (3; 4), а длина равна 5.

Длина вектора — гипотенуза треугольника с катетами 3 и 4.
∣AB→∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2,∣a⃗∣=xa2+ya2.\begin{gathered}|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},\\|\vec a|=\sqrt{x_a^2+y_a^2}.\end{gathered}
3

Сложение и вычитание по координатам

Пусть a = (xₐ; yₐ), b = (xᵦ; yᵦ). При сложении складывают соответствующие координаты; при вычитании вычитают их в указанном порядке.

a⃗+b⃗=(xa+xb; ya+yb),a⃗−b⃗=(xa−xb; ya−yb)\vec a+\vec b=(x_a+x_b;\ y_a+y_b),\qquad \vec a-\vec b=(x_a-x_b;\ y_a-y_b)
4

Сложение и вычитание на рисунке

Для суммы приложи начало второго вектора к концу первого. Для разности прибавь вектор, противоположный вычитаемому. В цепочке точек A, B, C это даёт две записи ниже.

Правило треугольника: AB + BC = AC. Все обозначения в подписи — векторы.
Для этой конфигурации верно AB − CB = AC: у вычитаемого вектора начало C, конец B.
AB→+BC→=AC→,AB→−CB→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}

В источнике во второй формуле ошибочно стоит AB − BC = AC. Здесь направление второго вектора исправлено.

5

Скалярное произведение по координатам

Скалярное произведение — число. Для a = (xₐ; yₐ), b = (xᵦ; yᵦ) перемножь соответствующие координаты и сложи. В примере a = (5; −3), b = (−2; 7) получается −31.

a⃗⋅b⃗=xaxb+yayb\vec a\cdot\vec b=x_ax_b+y_ay_b
6

Скалярное произведение через угол

Для ненулевых векторов a и b обозначим угол между ними θ. Скалярное произведение равно произведению длин и косинуса этого угла. В равностороннем треугольнике ABC со стороной 3 угол BAC равен 60°, поэтому AB · AC = 4,5.

Угол выбираем между векторами с общим началом A. Скалярное произведение равно 4,5.
a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣ ∣b⃗∣cos⁡θ\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\theta