п•переменаЕГЭ ПРОФИЛЬНаш бот
Все задания
№ 011 балл на экзамене60 минут

Планиметрия: справочник

Пройди справочник в порядке исходной страницы: углы и стороны, равенство и подобие, специальные отрезки, площади, фигуры и окружность. Последние теоремы пригодятся и при подготовке к развёрнутым решениям. Модуль рассчитан на несколько подходов.

О материале и его границах

Полный доступный текст справочника по планиметрии. Часть исходных иллюстраций и вложенных блоков недоступна; они не восстановлены по догадке. Неточности обозначений и условий уточнены в пояснениях.

Содержание · 34 разделов
  1. Углы и стороны треугольника
  2. Равные и равновеликие треугольники
  3. Три признака равенства
  4. Подобные треугольники
  5. Три признака подобия
  6. Биссектриса: смысл и центр окружности
  7. Биссектриса делит сторону в отношении прилежащих сторон
  8. Две формулы длины биссектрисы
  9. Медиана и площади
  10. Пересечение медиан
  11. Высота треугольника
  12. Прямоугольный треугольник: теорема Пифагора
  13. Медиана и высота к гипотенузе
  14. Площадь треугольника: основание и высота
  15. Площадь треугольника: две стороны и угол
  16. Площадь треугольника: формула Герона
  17. Площадь и вписанная окружность
  18. Равнобедренный треугольник
  19. Равносторонний треугольник
  20. Правильный шестиугольник
  21. Прямоугольник
  22. Квадрат
  23. Параллелограмм
  24. Ромб
  25. Трапеция
  26. Центральные и вписанные углы
  27. Секущие и касательные
  28. Две касательные из одной точки
  29. Хорды
  30. Окружность около четырёхугольника и внутри него
  31. Теорема косинусов
  32. Теорема синусов
  33. Теорема Чевы
  34. Теорема Менелая
1

Углы и стороны треугольника

В треугольнике стороны a, b и c лежат напротив углов α, β и γ соответственно. Сумма внутренних углов равна 180°. Напротив большего угла лежит большая сторона.

Стороны a, b, c лежат напротив углов α, β, γ; O — центр описанной окружности.
α+β+γ=180∘,α>β>γ ⟹ a>b>c\alpha+\beta+\gamma=180^\circ,\qquad \alpha>\beta>\gamma\ \Longrightarrow\ a>b>c
2

Равные и равновеликие треугольники

Равные треугольники можно совместить наложением. Равновеликие треугольники имеют одинаковую площадь; их форма и длины сторон могут различаться.

Общее основание a и одинаковая высота h дают равные площади.
3

Три признака равенства

Треугольники равны, если соответственно равны: две стороны и угол между ними; сторона и два прилежащих угла; все три стороны. В записи ABC и A₁B₁C₁ порядок букв задаёт соответствие вершин.

Одинаковые отметки показывают соответствующие стороны и углы.
AB=A1B1, AC=A1C1, ∠A=∠A1;AC=A1C1, ∠A=∠A1, ∠C=∠C1;AB=A1B1, BC=B1C1, AC=A1C1.\begin{gathered}AB=A_1B_1,\ AC=A_1C_1,\ \angle A=\angle A_1;\\AC=A_1C_1,\ \angle A=\angle A_1,\ \angle C=\angle C_1;\\AB=A_1B_1,\ BC=B_1C_1,\ AC=A_1C_1.\end{gathered}

Каждая строка — отдельный достаточный набор условий, а не часть одного общего условия.

4

Подобные треугольники

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны. k — отношение соответствующей стороны первого треугольника ко второму; S — площадь. Отношение площадей равно квадрату k.

Соответствие вершин: A ↔ A₁, B ↔ B₁, C ↔ C₁.
ABA1B1=BCB1C1=CAC1A1=k,SABCSA1B1C1=k2\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CA}{C_1A_1}=k,\qquad \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2
5

Три признака подобия

Для подобия достаточно одного из наборов: два равных соответствующих угла; две пропорциональные стороны и равные углы между ними; три пропорциональные стороны.

Равные углы и пропорциональные стороны на паре подобных треугольников.
∠A=∠A1, ∠C=∠C1;ABA1B1=ACA1C1, ∠A=∠A1;ABA1B1=ACA1C1=BCB1C1.\begin{gathered}\angle A=\angle A_1,\ \angle C=\angle C_1;\\\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1},\ \angle A=\angle A_1;\\\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1}.\end{gathered}
6

Биссектриса: смысл и центр окружности

Биссектриса делит угол пополам. Точки внутренней биссектрисы равноудалены от сторон угла. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в центре вписанной окружности.

O лежит на биссектрисах; расстояния r до трёх сторон равны.
7

Биссектриса делит сторону в отношении прилежащих сторон

В треугольнике ABC биссектриса AM пересекает сторону BC в точке M. Тогда отрезки BM и MC относятся как стороны AB и AC. В примере источника AB = 6, AC = 9, BC = 5, поэтому BM = 2 и MC = 3.

AM — биссектриса; a = AB, b = AC, c = BC. BM / MC = a / b.
BMMC=ABAC\frac{BM}{MC}=\frac{AB}{AC}
8

Две формулы длины биссектрисы

Пусть a и b — стороны, образующие угол θ, c — противоположная сторона, а l — длина биссектрисы угла θ. Формулы из источника записаны с явным обозначением полного угла.

l = AM; θ — полный угол A, каждый из двух углов равен θ/2.
l=ab(a+b+c)(a+b−c)a+b,l=2abcos⁡(θ/2)a+b.\begin{gathered}l=\frac{\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}}{a+b},\\l=\frac{2ab\cos(\theta/2)}{a+b}.\end{gathered}

В косинусе стоит половина полного угла. В исходной записи cos α обозначение α зависит от рисунка; здесь неоднозначность устранена.

9

Медиана и площади

Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Для медианы AM площади треугольников ABM и AMC равны. Более общее свойство: если M лежит на BC, площади треугольников с общей высотой из A относятся как их основания. В формуле отношения площадей M лежит строго внутри отрезка BC: концы B и C исключены.

BM = MC; треугольники ABM и AMC имеют общую высоту AH.
BM=MC ⟹ SABM=SAMC,SABMSAMC=BMMC.\begin{gathered}BM=MC\ \Longrightarrow\ S_{ABM}=S_{AMC},\\\frac{S_{ABM}}{S_{AMC}}=\frac{BM}{MC}.\end{gathered}

В одном примере источника ошибочно указана сторона AC. Для приведённого отношения точка M должна лежать на BC.

10

Пересечение медиан

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке O — центре тяжести треугольника. Каждая делится в отношении 2 : 1, считая от вершины.

На медиане AA₁ отрезки AO = 2x и OA₁ = x.
AOOA1=BOOB1=COOC1=2\frac{AO}{OA_1}=\frac{BO}{OB_1}=\frac{CO}{OC_1}=2
11

Высота треугольника

Высота — перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. В тупоугольном треугольнике две высоты попадают на продолжения сторон, а высота из тупого угла — на сторону.

Внизу основание H высоты лежит на продолжении стороны BC.

Формулировка уточняет слишком общее утверждение источника о высотах тупоугольного треугольника.

12

Прямоугольный треугольник: теорема Пифагора

a и b — катеты, c — гипотенуза. Теорема Пифагора позволяет найти гипотенузу по катетам или катет по гипотенузе и второму катету.

a и b — катеты, c — гипотенуза напротив прямого угла.
c2=a2+b2,c=a2+b2,a=c2−b2,b=c2−a2.\begin{gathered}c^2=a^2+b^2,\qquad c=\sqrt{a^2+b^2},\\a=\sqrt{c^2-b^2},\qquad b=\sqrt{c^2-a^2}.\end{gathered}
13

Медиана и высота к гипотенузе

В прямоугольном ABC с прямым углом C точка O — середина гипотенузы AB и центр описанной окружности радиуса R. Медиана CO равна половине гипотенузы. Высота CH к гипотенузе образует два треугольника, подобных исходному; катеты тоже являются высотами.

O — середина AB; CO — медиана, CH ⟂ AB — высота.
OA=OB=OC=R=AB2OA=OB=OC=R=\frac{AB}{2}

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. В подобии сначала сопоставь соответствующие углы.

14

Площадь треугольника: основание и высота

S — площадь, a — выбранное основание, hₐ — проведённая к нему высота. Можно выбрать любое из трёх оснований, но высота должна соответствовать ему.

Основанию a = BC соответствует высота hₐ = AH, в том числе на продолжении.
S=12ahaS=\frac12 ah_a
15

Площадь треугольника: две стороны и угол

a и b — две стороны, θ — угол между ними. Здесь существенен именно угол между выбранными сторонами.

Угол θ расположен между выбранными сторонами a и b.
S=12absin⁡θS=\frac12 ab\sin\theta
16

Площадь треугольника: формула Герона

a, b, c — стороны, p — полупериметр. Формула удобна, когда известны все три стороны.

В формуле Герона используются все три стороны a, b, c этого треугольника.
p=a+b+c2,S=p(p−a)(p−b)(p−c)p=\frac{a+b+c}{2},\qquad S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
17

Площадь и вписанная окружность

r — радиус вписанной окружности, p — полупериметр. Соединив центр окружности с вершинами, получаем три треугольника с высотой r. Для прямоугольного треугольника с катетами a, b и гипотенузой c в источнике дана отдельная формула радиуса.

Отрезки от O к сторонам — перпендикуляры длины r.
S=pr,rпрямоуг.=a+b−c2S=pr,\qquad r_{\text{прямоуг.}}=\frac{a+b-c}{2}
18

Равнобедренный треугольник

Две боковые стороны равны, поэтому углы при основании равны. Высота из вершины к основанию одновременно является медианой и биссектрисой.

Отметки равенства: AB = AC, BH = HC; углы при основании равны.
AB=AC ⟹ ∠B=∠CAB=AC\ \Longrightarrow\ \angle B=\angle C
19

Равносторонний треугольник

a — сторона, h — высота, r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей, S — площадь. Все углы равны 60°, а высоты одновременно являются медианами и биссектрисами. Их общая точка делит высоты в отношении 2 : 1 от вершины.

O — общий центр окружностей; на высоте R + r = h и R = 2r.
h=a32,r=h3=a36,R=2h3=a33,S=a234.\begin{gathered}h=\frac{a\sqrt3}{2},\quad r=\frac h3=\frac{a\sqrt3}{6},\\R=\frac{2h}{3}=\frac{a\sqrt3}{3},\quad S=\frac{a^2\sqrt3}{4}.\end{gathered}

Исправлена подпись источника: большой R — радиус описанной, а не вписанной окружности.

20

Правильный шестиугольник

У правильного шестиугольника равны все стороны и все углы; каждый внутренний угол равен 120°. Соединение центра со всеми вершинами делит его на шесть равносторонних треугольников. a — сторона, S — площадь, r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей.

Каждый из шести треугольников от центра — равносторонний.
S=3a232,R=a,r=a32S=\frac{3a^2\sqrt3}{2},\qquad R=a,\qquad r=\frac{a\sqrt3}{2}

Одного равенства сторон недостаточно для правильности. На шесть треугольников фигуру делят отрезки от центра к вершинам, а не все диагонали сразу.

21

Прямоугольник

У прямоугольника все углы прямые; противоположные стороны равны. Диагонали равны и делятся точкой пересечения O пополам; O — центр описанной окружности. a и b — стороны, S — площадь.

Диагонали пересекаются в центре O описанной окружности.
AO=OC=BO=OD,S=abAO=OC=BO=OD,\qquad S=ab
22

Квадрат

Квадрат — прямоугольник с равными сторонами, а также ромб с прямыми углами. a — сторона, d — диагональ, r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей, S — площадь.

R направлен к вершине, r — перпендикулярно стороне.
d=a2,R=d2,r=a2,S=a2=d22d=a\sqrt2,\qquad R=\frac d2,\qquad r=\frac a2,\qquad S=a^2=\frac{d^2}{2}
23

Параллелограмм

Противоположные стороны параллелограмма попарно параллельны и равны; противоположные углы равны. Диагонали делятся точкой O пополам. Пары противоположных треугольников при O равны. a и b — соседние стороны, h — высота к a, θ — угол между сторонами, S — площадь.

Высота h опущена к стороне a; θ — угол между a и b.
AO=OC,BO=OD,S=ah=absin⁡θAO=OC,\quad BO=OD,\qquad S=ah=ab\sin\theta
24

Ромб

Ромб — параллелограмм с равными сторонами. Его диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. a — сторона, h — высота к ней, θ — угол ромба, d₁ и d₂ — диагонали, S — площадь.

d₁ = AC и d₂ = BD пересекаются под прямым углом.
S=ah=a2sin⁡θ=d1d22S=ah=a^2\sin\theta=\frac{d_1d_2}{2}
25

Трапеция

У трапеции два основания параллельны, а боковые стороны не параллельны. a и b — длины оснований, h — перпендикулярное расстояние между ними, S — площадь.

a = BC, b = AD — параллельные основания; h = BH.
S=a+b2hS=\frac{a+b}{2}h
26

Центральные и вписанные углы

Вершина центрального угла находится в центре O окружности. Вершина вписанного угла лежит на окружности. Центральный угол равен градусной мере своей дуги. Вписанный угол равен половине меры дуги, на которую он опирается; углы на одной и той же дуге равны.

Углы ACB и ADB опираются на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.
∠AOB=2∠ACB,∠ACB=∠ADB\angle AOB=2\angle ACB,\qquad \angle ACB=\angle ADB

Первая формула относится к углам на одной и той же дуге AB. Вторая — к вписанным углам, опирающимся на одну дугу.

27

Секущие и касательные

Из внешней точки O проведены две секущие: ближние точки пересечения с окружностью B и C, дальние A и D. Произведения внешнего отрезка и всей секущей равны. Если OT — касательная с точкой касания T, её квадрат равен этому произведению.

B и C — ближние точки секущих, A и D — дальние; T — точка касания.
OB⋅OA=OC⋅OD,OT2=OB⋅OAOB\cdot OA=OC\cdot OD,\qquad OT^2=OB\cdot OA
28

Две касательные из одной точки

Из внешней точки C к окружности с центром O проведены касательные CA и CB; A и B — точки касания. Отрезки касательных равны, а радиусы к точкам касания перпендикулярны им. R — радиус окружности.

C — внешняя точка, O — центр; радиусы OA и OB перпендикулярны касательным.
CA=CB,OA=OB=R,CA⊥OA,CB⊥OBCA=CB,\quad OA=OB=R,\quad CA\perp OA,\quad CB\perp OB
29

Хорды

Хорда соединяет две точки окружности; самая длинная хорда — диаметр. Если хорды AB и CD пересекаются в O, произведения их отрезков равны. Равные хорды стягивают равные меньшие дуги; большей хорде соответствует большая меньшая дуга.

O обозначает пересечение хорд; это не обязательно центр окружности.
AO⋅OB=CO⋅ODAO\cdot OB=CO\cdot OD

Сравнение дуг уточнено: речь о меньших дугах одной окружности.

30

Окружность около четырёхугольника и внутри него

Вокруг выпуклого четырёхугольника ABCD можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°. Если в четырёхугольник вписана окружность, суммы противоположных сторон равны; каждая сумма равна полупериметру p.

Две отдельные конфигурации: окружность около четырёхугольника и внутри него.
∠A+∠C=∠B+∠D=180∘,AB+CD=BC+AD=p\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^\circ,\qquad AB+CD=BC+AD=p

Исправлены перепутанные слова «вписать» и «описать» в заголовках источника. Для сторон здесь сформулировано прямое свойство касательного четырёхугольника.

31

Теорема косинусов

a, b, c — стороны, α, β, γ — противоположные им углы. Теорема связывает длины сторон и углы; при прямом угле соответствующая формула превращается в теорему Пифагора.

Обозначения согласованы с формулами: a ↔ α, b ↔ β, c ↔ γ.
a2=b2+c2−2bccos⁡α,b2=a2+c2−2accos⁡β,c2=a2+b2−2abcos⁡γ.\begin{gathered}a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha,\\b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta,\\c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma.\end{gathered}

Обозначения углов согласованы с противоположными сторонами, чтобы не зависеть от подписей на рисунке источника.

32

Теорема синусов

a, b, c — стороны, α, β, γ — противоположные им углы, R — радиус описанной окружности.

Радиус R относится к окружности, проходящей через A, B и C.
asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\frac a{\sin\alpha}=\frac b{\sin\beta}=\frac c{\sin\gamma}=2R
33

Теорема Чевы

Чевиана соединяет вершину треугольника с точкой противоположной стороны или её продолжения. Для показанной в источнике внутренней конфигурации: T лежит на AB, P на BC, M на CA, а чевианы CT, AP и BM пересекаются в одной точке. Произведение последовательных отношений равно 1.

Обход отношений: AT / TB, BP / PC, CM / MA.
ATTB⋅BPPC⋅CMMA=1\frac{AT}{TB}\cdot\frac{BP}{PC}\cdot\frac{CM}{MA}=1

Эта запись дана для точек на сторонах. Не переноси её без проверки знаков на произвольную конфигурацию с продолжениями.

34

Теорема Менелая

Прямая пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках P и T, а продолжение AC — в точке M. Для длин отрезков в этой конфигурации действует произведение отношений из источника.

M находится за C на продолжении AC; прямая PM проходит через T.
APPB⋅BTTC⋅CMAM=1\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BT}{TC}\cdot\frac{CM}{AM}=1

Сначала отметь точки на рисунке, затем последовательно обходи стороны треугольника.